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直三棱柱的特点(直三棱柱的特点是否垂直)

在我国,对空间图形的研究起源很早。由于建筑城墙,开掘沟渠等工程需要计算体积,所以在《九章算术》中的“商功章”以及魏晋时期**数学家刘徽所著的《九章算术注》中介绍了当时的算法。今天,就让我们走进历史的长河,来看看中国古代数学史中的体积计算。

1 堑堵 阳马 鳖臑

刘徽曾在《九章算术注》中多次运用堑(qiàn)堵、阳马、鳖臑(nào)等几何体来验证并推导立体体积的算法。那么什么是堑堵、阳马和鳖臑呢?实际上,这些几何体我们并不陌生。

刘徽首先从几何形状的角度解释“堑堵”(底为直角三角形的直三棱柱):

邪解立方得两堑堵;虽复随方,亦为堑堵,故二而一。

这句话说明把正方体或长方体过一组相对面的对角线平分得到两个(体积)一样的堑堵。

刘徽又提到:

推其物体,盖为堑上叠也。

这说明作为实物的堑堵可能是叠在沟堑上面的一种设施,也许这就是“堑堵”之名的由来。

沟堑

阳马为何物?刘徽在术文下注云:

阳马之形,方锥一隅也。

意思是阳马的形状,就是方锥(正四棱锥)的一个角,并且他又补充说:

今谓四柱屋隅为阳马。

这便是从实际生活中的情况来说明阳马作为实物指的是什么。

阳马

鳖臑则指的是各个面都为直角三角形的四面体。刘徽在做注时,侧重于解释鳖臑的字面含义:

臑者,臂骨也。或曰半阳马,其形有似鳖肘,故以名云。

鳖臑

刘徽还通过立体的分解和组合来阐述堑堵、阳马、鳖臑这三者的关系:

邪解立方得两堑堵,邪解堑堵,其一为阳马,一为鳖臑,阳马居二,鳖臑居一,不易之率也。

这指的是把一个立方(正方体或是长方体)斜向分解成两个堑堵,再把堑堵斜向分解得到一个阳马和一个鳖臑,两者的体积比总是2:1(不易之率)。

实际上,在《九章算术》原著中“商功章”给出了“阳马”的体积公式:三条直角边乘积的三分之一。这与刘徽后来提出的“不易之率”(阳马与鳖臑的体积比为)的说法是等价的。但是《九章算术》原著中并没有给出证明。刘徽则尝试运用极限的方法对其进行解释,并将其记录在了《九章算术注》中。

2 不易之率

刘徽欲证明阳马体积Y和鳖臑体积B之比为2:1,又由于堑堵的体积是长方体的一半,由此即可推出阳马体积公式为

其中a,b,c分别为长方体的三边之长。

刘徽认为,命题Y:B=2:1应对任意长方体都成立,这个比率称为“不易之率”,意即对所有长方体都保持不变的比率.刘徽用一种极限的过程对他的命题给出了一般的证明。

如图,取阳马各棱的中点并联结,可将阳马分割为1个小长方体、2个(一样的)小堑堵、2个(一样的)小阳马。

同样地,可将鳖臑分割为2个(一样的)小鳖臑和2个(一样的)小堑堵。

容易得到,阳马中除去2个小阳马的部分的体积(记为100)为鳖臑中除去2个小鳖臑的部分的体积(记为)的2倍,即

com

而它们合在一起(刘徽称其为“已知”部分)的体积应占原堑堵体积的。

因此,剩余部分(即2个小阳马加2个小鳖臑,刘徽称其为“未知”部分)的体积应占原堑堵的体积的。

若分别用记每个小阳马和小鳖臑的体积,则有

其中,与的比是未知的。但实际上,我们可以如法炮制,继续对每个小阳马和小鳖臑进行同样的分割,就有

由此,对第次分割,其中在“已知”部分中总有,至于“未知”部分的体积,刘徽指出,随着分割得越来越细,它将无限趋近于0。刘徽对这一过程的描述是:

半之弥少,其余弥细,至细曰微,微则无形,由是言之,安取余哉?

将这一过程无限进行下去,在极限的情况下就得到了“不易之率”:Y:B=2:1。

3 刘徽的无限思想

刘徽的极限方法在今天看来也十分精彩,在刘徽的观念中,分割到**的结果得到一个“至细”,“无形”的东西,这一点可以从他的思想渊源上得到解释。

实际上,刘徽受墨家的思想影响很深。墨家曾提出“非半弗斫”命题:

非半弗斫,则不动,说在端。

这是认为对于给定长度的木棍,做连续取半的分割操作,到了不能再取半时,就不能用刀砍了,这时就会出现不动的“端”,这里的“端”指的就是没有大小,量度为零的东西。

其次,从道家思想看,刘徽这里用的“微”和“无形”两个概念,在刘徽所处的时代之前就已有密切的联系。《庄子·秋水》中云:

河伯曰:世之议者皆曰:“至精无形……” 北海若曰:“……夫精,小之微也;夫精粗者,期于有形者也;无形者,数之所不能分也;不可围者,数所不能穷也”。

这里,“微”和“无形”通过概念“精”联系起来,体现了道家强调精微细小到极点就“无形”的极限思想。

刘徽运用同样的思想方法提出了**的“割圆术”,通过不断倍增圆内接正多边形的边数来接近圆,从而计算圆周率:

割之弥细,所失弥少,割之又割,以至于不可割,则与圆周合体而无所失矣.

刘徽大胆地直接用无限过程来处理数学问题,这与中国古代数学注重实际讲求直观的传统相一致。从中国古代哲学思想的渊源来看,刘徽在无限过程的运用上和墨、道两家也是一脉相承的。

参考文献

[1]邹大海,夏庆卓.刘徽对《九章算术》中立体的辨名[J].自然辩证法通讯,2021,43(04):47-54.

[2]李文林.学一点数学史——谈谈中学数学教师的数学史素养[J].数学通报,2011,50(04):1-5.

[3]邹大海.刘徽的无限思想及其解释[J].自然科学史研究,1995(01):12-21.


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来源:大小吴的数学课堂

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更新时间:2023年05月16日

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